Zakładamy więc, że w najprostszych przypadkach rozpatrywać będziemy dwie przeciwstawne wielkości fizyczne tego samego typu (siły, momenty, naprężenia), które w modelu deterministycznym przyjęlibyśmy jako stałe, natomiast przy dokładniejszym rozpatrywaniu i zastosowaniu modelu stochastycznego, uznamy, że mają one losowy rozrzut, według określonego rozkładu. W niektórych przypadkach - gdy rozrzut wartości jest symetryczny wokół określonej średniej - można przyjąć, że każda z tych dwu wielkości jest zmienną losową charakteryzowaną rozkładem normalnym. Hipoteza ta powinna być zweryfikowana statystycznymi testami normalności, którymi na razie nie zajmujemy się.
Wyznaczyć prawdopodobieństwo przesunięcia ciężaru Q stojącego na poziomym podłożu
o współczynniku tarcia M jeśli działa na niego siła P. Zakładamy, że zarówno siła pchania P
(o różnych wartościach przy kolejnych próbach pchnięcia) jak i współczynnik tarcia M (zmieniający się wskutek
różnic między tarciem statycznym i dynamicznym) są zmiennymi losowymi o rozkładach normalnych.
Każdy rozkład normalny charakteryzują dwa parametry: wartość średnia i odchylenie standardowe:
A więc nasze DANE to:
Analiza c.d.:
Ponieważ średnia siła tarcia Tsr jest większa niż średnia siła pchania Psr,
więc pchnięcie skrzyni nie byłoby możliwe gdyby nie losowy rozrzut wartości tych sił.
Dzięki temu rozrzutowi może się zdarzyć przypadek, że przy którejś z wielu prób,
siła pchania przekroczy siłę tarcia i skrzynię uda się wówczas pchnąć.
Mamy obliczyć prawdopodobieństwo takiego zdarzenia przy założeniu rozkładów normalnych.
(Osobnym problemem jest: czy słuszne jest takie załozenie?)
Metoda I:
Szukane prawdopodobieństwo PR, że siła pchania przekroczy siłę tarcia możemy wyznaczyć metodą symulacji
stochastycznej (Monte Carlo).
Generujemy (przy pomocy rnorm), według zadanych rozkładów normalnych,
N par wartości siły Psi oraz tarcia Tsi.
Następnie przy pomocy sumy oraz funkcji if(...) zliczamy wszystkie przypadki gdy Psi>Tsi
i dzielimy przez liczbę wszystkich losowań N, otrzymując oszacowanie prawdopodobieństwa, tym dokładniejsze im wieksze N:
Sporządź w jednym układzie 2 wykresy punktowe dla wylosowanych ciągów wartości sił Ps i Ts,
tak aby na osi poziomej były siły a na osi pionowej numery kolejnych elementów ciągów.
Porównaj te wykresy z krzywymi Gaussa wykreślonymi wyżej. Jaki widzisz związek?
Metoda II:
Ponieważ interesują nas przypadki gdy P>T czyli T-P<0 to tworzymy nową zmienną losową Z = T-P.
Dla sumy lub różnicy niezależnych zmiennych losowych, średnie należy odpowiednio dodać lub odjąć, a więc:
Zsr = Tsr-Psr a odchylenie standardowe nowej zmiennej jest sumą geometryczną składowych odchyleń standardowych:
Ponieważ siła tarcia i siła pchania zależą od kąta w sposób nieliniowy, więc ich rozrzuty losowe nie będą zgodne z rozkładem normalnym, mimo założenia rozkładu normalnego dla kąta.
Uwagi pomocnicze: