Przykłady zastosowań metod Monte Carlo
Metody "Monte Carlo" to metody symulacyjnego rozwiązywania zagadnień poprzez losowanie
wartości zmiennych według określonych rozkładów prawdopodobieństwa.
Przykład 1: Wyznaczanie wartości całki oznaczonej
Jednym z zastosowań metod "Monte Carlo" jest wyznaczanie przybliżonej wartości całki danej funkcji f(x)
w zadanym przedziale [A,B].
W tym celu:
- sporządzamy wykres funkcji w przedziale [A,B] i na jego podstawie wyznaczamy prostokąt o podstawie równej przedziałowi całkowania [A,B]
a wysokości dowolnej byle nie mniejszej od maksimum funkcji w tym przedziale,
- generujemy w tym prostokącie wiele punktów poprzez losowanie ich współrzędnych według rozkładów równomiernych
o zakresach odpowiadajacych bokom prostokąta
- wyznaczamy przybliżoną wartość całki według następującej proporcji:
"stosunek pola pod krzywą (czyli całki) do pola prostokąta jest równy stosunkowi
liczby punktów pod krzywą do liczby wszystkich wylosowanych punktów w tym prostokącie".
- do sprawdzania czy punkt jest pod czy nad krzywą stosujemy w Mathcadzie funkcję if(warunek, W1, W2)
gdzie W1 to wynik zwracany przez funkcję gdy warunek jest spełniony a W2 to wynik zwracany przez funkcję gdy warunek
NIE jest spełniony.
Pytanie: Czy przedział całkowania tej funkcji może zawierać wartość -1 ?
Przykład 2: Obliczanie pola figury ograniczonej liniami o danych równaniach
Podobnie jak dla całki, można przeprowadzić wyznaczenie pola figury płaskiej ograniczonej liniami o danych równaniach.
b) Dla wyznaczenia pola zacieniowanego wycinka najpierw określimy dowolny prostokąt w którym mieści się ten wycinek.
Metoda Monte Carlo będzie polegała na losowym wygenerowaniu (według rozkładu równomiernego) wielu punktów w prostokącie zawierającym badany wycinek a następnie wyznaczeniu pola wycinka Pw z proporcji: Pw : P = Nw : N
gdzie: Pw - pole wycinka, P - pole prostokąta, Nw - liczba punktów wewnątrz wycinka, N - liczba wszystkich punktów wygenerowanych w prostokącie.
UWAGA: Przyjęcie przedziału większego niż średnica któregokolwiek okręgu
spowoduje, że pod pierwiastkiem wystąpią wartości ujemne a więc w wektorze współrzędnych
wystąpią wartości zespolone co skutkuje sygnalizowaniem błędu.
Można temu zapobiec przez zmniejszenie przedziału lub zastosowanie funkcji Re(...).
UWAGA2: Funkcje dla rozkładów niestety nie przyjmują argumentów określonych
z użyciem jednostek miar.