Układy równań i nierówności nieliniowych (Given - Find)

Pamiętajmy: warunkiem koniecznym (choć nie wystarczającym) dla istnienia rozwiązania jest taka sama liczba niewiadomych jak liczba równań.

Najprostszy układ stanowią dwa równania z dwoma niewiadomymi x, y:
ogólnie w postaci uwikłanej,
zawierające równości wyrażeń:
        w1(x,y) = w1(x,y)        
        w3(x,y) = w4(x,y)         		a czasem w postaci funcyjnej:
        y = f1(x,y)        
        y = f2(x,y)        

Każde z równań określa osobną krzywą na płaszczyźnie XY, a rozwiązaniami są pary współrzędnych punktów przecięcia tych krzywych - spełniajace oba równania.

Rozwiązanie analityczne układu równań i nierówności nieliniowych:

Aby w Mathcadzie rozwiązać dowolny układ równań i nierówności nieliniowych wystarczy wykonać 4 kroki:

  1. Nadać wartości startowe wszystkim niewiadomym. Np.: x := 2         y := 1
  2. Wpisać słowo kluczowe: given
  3. Wpisać układ równań i nierówności stosując logiczny (wytłuszczony) znak "=" z palety Boolean
    Np.:                      albo
           y = f1(x)                      w1(x,y)=w2(x,y)
           y = f2(x)                      w3(x,y)=w4(x,y)
  4. Zastosować funcję FIND do znalezienia szukanych rozwiązań: Np.:
           R := find(x,y)        R=
    W wyniku uzyskamy wektor jednego rozwiązania R (zawierający parę współrzędnych).
    Aby uzyskać inne rozwiązanie (jeśli istnieje), trzeba zmienić wartości startowe (wstawiane na początku).

PRZYKŁAD

Jak już wspomniano, równania krzywych nie muszą zawierać funkcji, w szczególności mogą być w postaci uwikłanej wyrażenie=wyrażenie, jak to pokazano poniżej.
Przykładowo, jeśli prosta y=ax+b przecina okrąg x2+y2=r2 w punktach P1 i P2 to (mając dane r, a, b) możemy poszukać współrzędnych punktu P1 następująco:
Zmieniając nierówność i zgodnie z nią także wartości startowe możemy wyznaczyć współrzędne drugiego punktu (P2) przecięcia okręgu z prostą.
Dla niektórych zestawów danych nie istnieje rozwiązanie a gdy istnieje to i tak przy pewnych wartościach startowych możemy nie otrzymać rozwiązania i trzeba będzie je zmienić.

Aby otrzymać te rozwiązania graficznie (i sprawdzić na wykresie) najłatwiej będzie wykreślić okrąg parametrycznie:

Jest to osobna metoda więc i osobne zadanie, dlatego jeśli chcemy umieścić je w tym samym dokumencie i uniknąć kolizji zmiennych - użyjmy innych oznaczeń, na przyklad małych liter x,y, zamiast użytych przy równaniach dużych X, Y.
Pamiętamy (mam nadzieję), że odczytując współrzędne z wykresu warto zastosować ZOOM (powiększanie) i TRACE ( odczyt współrzędnych)
Aby okrąg nie był zdeformowany trzeba w opcjach formatowania wykresu (po podwójnym kliknięciu) ustawić jednakowe skale na obu osiach (Equal Scales).